SCIO - posloupnosti

1. Sníh

Na horách bylo ráno 100 cm sněhu. Každý den sníh ubývá o 20 % oproti předchozímu dni. Kdy poprvé klesne pod 50 cm?

Řešení:

  • Poměr: q=0,8q = 0,8q=0,8

  • Po nnn dnech: an=100⋅0,8n−1a_n = 100 \cdot 0,8^{n-1}an​=100⋅0,8n−1

  • Hledáme nnn tak, aby an<50a_n < 50an​<50:

100⋅0,8n−1<50  ⟹  0,8n−1<0,5100 \cdot 0,8^{n-1} < 50 \implies 0,8^{n-1} < 0,5100⋅0,8n−1<50⟹0,8n−1<0,5

Zkouška po dnech:

  • den 1: 100 cm

  • den 2: 80 cm

  • den 3: 64 cm

  • den 4: 51,2 cm

  • den 5: 40,96 cm ✅

Odpověď: den 5

2. Peníze na účtu

Na účtu je 1 000 Kč. Každý měsíc se částka zmenší o 10 % (poplatky). Po kolika měsících bude poprvé méně než 500 Kč?

Řešení:

  • Poměr: q=0,9q = 0,9q=0,9

  • Po nnn měsících: 1000⋅0,9n<5001000 \cdot 0,9^{n} < 5001000⋅0,9n<500

  • Dělení: 0,9n<0,50,9^n < 0,50,9n<0,5

  • Počítáme postupně:
    0: 1000, 1: 900, 2: 810, 3: 729, 4: 656, 5: 590, 6: 531, 7: 478 ✅

Odpověď: 7 měsíců

3. Hmotnost ledu

Led má 200 kg. Každý den taje o 15 % původní hmotnosti. Kdy klesne pod 100 kg?

Řešení:

  • Poměr: q=0,85q = 0,85q=0,85

  • 200⋅0,85n<100  ⟹  0,85n<0,5200 \cdot 0,85^n < 100 \implies 0,85^n < 0,5200⋅0,85n<100⟹0,85n<0,5

  • Zkouška po dnech:
    0:200, 1:170, 2:144, 3:122, 4:104, 5:88 ✅

Odpověď: den 5

4. Zásoba vody

V nádrži je 500 l vody. Každý den se odčerpá 1/4 z předchozího množství. Kdy poprvé klesne pod 100 l?

Řešení:

  • Poměr: q=3/4=0,75q = 3/4 = 0,75q=3/4=0,75

  • 500⋅0,75n<100  ⟹  0,75n<0,2500 \cdot 0,75^n < 100 \implies 0,75^n < 0,2500⋅0,75n<100⟹0,75n<0,2

  • Zkouška:
    0: 500, 1: 375, 2: 281,25, 3: 210,94, 4: 158,2, 5: 118,65, 6: 88,99 ✅

Odpověď: den 6

5. Rostoucí populace

Kolonie bakterií má 50 jedinců a každý den se počet zdvojnásobí. Kdy překročí 800?

Řešení:

  • Poměr: q=2q = 2q=2

  • 50⋅2n−1>80050 \cdot 2^{n-1} > 80050⋅2n−1>800

  • Zkouška:
    1:50, 2:100, 3:200, 4:400, 5:800, 6:1600 ✅

Odpověď: den 6

6. Pokles teploty

Teplota vody je 100 °C a každý den klesne o 10 % původní teploty. Kdy bude pod 50 °C?

Řešení:

  • q=0,9q = 0,9q=0,9

  • 100⋅0,9n<50  ⟹  0,9n<0,5100 \cdot 0,9^n < 50 \implies 0,9^n < 0,5100⋅0,9n<50⟹0,9n<0,5

  • Zkouška po dnech:
    1:90, 2:81, 3:72, 4:64, 5:57, 6:51, 7:45,3 ✅

Odpověď: den 7

7. Pokles zásob

Firma má 1 000 kg materiálu, každý týden se spotřebuje 1/5 zásob. Kdy bude méně než 200 kg?

Řešení:

  • Poměr: q=4/5=0,8q = 4/5 = 0,8q=4/5=0,8

  • 1000⋅0,8n<200  ⟹  0,8n<0,21000 \cdot 0,8^n < 200 \implies 0,8^n < 0,21000⋅0,8n<200⟹0,8n<0,2

  • Zkouška:
    1:800, 2:640, 3:512, 4:409,6, 5:327,68, 6:262,14, 7:209,7, 8:167,77 ✅

Odpověď: týden 8

8. Peníze na investici

Na začátku je 2 000 Kč. Každý měsíc se částka zvýší o 20 % (úrok). Po kolika měsících bude poprvé více než 4 000 Kč?

Řešení:

  • q=1,2q = 1,2q=1,2

  • 2000⋅1,2n>4000  ⟹  1,2n>22000 \cdot 1,2^n > 4000 \implies 1,2^n > 22000⋅1,2n>4000⟹1,2n>2

  • Zkouška:
    1:2400, 2:2880, 3:3456, 4:4147,2 ✅

Odpověď: 4 měsíce

9. Pokles světla

Intenzita světla je 500 luxů a každý den klesá o 12 %. Kdy bude méně než 200 luxů?

Řešení:

  • q=0,88q = 0,88q=0,88

  • 500⋅0,88n<200  ⟹  0,88n<0,4500 \cdot 0,88^n < 200 \implies 0,88^n < 0,4500⋅0,88n<200⟹0,88n<0,4

  • Zkouška:
    1:440, 2:387,2, 3:340,9, 4:300, 5:264, 6:232, 7:204, 8:179 ✅

Odpověď: den 8

10. Pokles váhy

Osoba má 80 kg a každý týden zhubne 5 % hmotnosti. Po kolika týdnech bude méně než 60 kg?

Řešení:

  • q=0,95q = 0,95q=0,95

  • 80⋅0,95n<60  ⟹  0,95n<0,7580 \cdot 0,95^n < 60 \implies 0,95^n < 0,7580⋅0,95n<60⟹0,95n<0,75

  • Zkouška:
    1:76, 2:72,2, 3:68,59, 4:65,16, 5:61,9, 6:58,81 ✅

Odpověď: týden 6

11. Pokles zásob oleje

Nádoba má 400 l oleje, každý den se spotřebuje 1/10 z předchozího množství. Kdy bude pod 200 l?

Řešení:

  • q=0,9q = 0,9q=0,9

  • 400⋅0,9n<200  ⟹  0,9n<0,5400 \cdot 0,9^n < 200 \implies 0,9^n < 0,5400⋅0,9n<200⟹0,9n<0,5

  • Zkouška:
    1:360, 2:324, 3:291,6, 4:262,44, 5:236,2, 6:212,6, 7:191,3 ✅

Odpověď: den 7

12. Růst populace

Město má 1 000 obyvatel a každý rok přibývá 5 %. Po kolika letech bude více než 2 000 obyvatel?

Řešení:

  • q=1,05q = 1,05q=1,05

  • 1000⋅1,05n>2000  ⟹  1,05n>21000 \cdot 1,05^n > 2000 \implies 1,05^n > 21000⋅1,05n>2000⟹1,05n>2

  • Zkouška:
    1:1050, 2:1102,5, 3:1157,6, 4:1215,5, 5:1276,3, 6:1340,1, 7:1407,1, 8:1477,5, 9:1551,4, 10:1628, ✅

  • pokračujeme: 11:1710, 12:1795, 13:1885, 14:1979, 15:2078 ✅

Odpověď: 15 let

13. Hmotnost tělesa

Těleso má hmotnost 120 kg a každý den se ztratí 6 %. Kdy bude méně než 60 kg?

Řešení:

  • q=0,94q = 0,94q=0,94

  • 120⋅0,94n<60  ⟹  0,94n<0,5120 \cdot 0,94^n < 60 \implies 0,94^n < 0,5120⋅0,94n<60⟹0,94n<0,5

  • Zkouška:
    1:112,8, 2:106,0, 3:99,64, 4:93,6, 5:87,8, 6:82,2, 7:77,2, 8:72,6, 9:68,2, 10:64,1, 11:60,2, 12:56,6 ✅

Odpověď: den 12

14. Snížení hladiny jezera

Hladina jezera je 10 m, každý týden klesne o 8 %. Kdy bude méně než 5 m?

Řešení:

  • q=0,92q = 0,92q=0,92

  • 10⋅0,92n<5  ⟹  0,92n<0,510 \cdot 0,92^n < 5 \implies 0,92^n < 0,510⋅0,92n<5⟹0,92n<0,5

  • Zkouška:
    1:9,2, 2:8,46, 3:7,78, 4:7,15, 5:6,58, 6:6,05, 7:5,57, 8:5,12, 9:4,7 ✅

Odpověď: týden 9

15. Zásoba potravin

Máme 250 kg obilí, každý den se spotřebuje 1/6 z předchozího množství. Kdy bude pod 100 kg?

Řešení:

  • q=5/6≈0,8333q = 5/6 \approx 0,8333q=5/6≈0,8333

  • 250⋅0,8333n<100  ⟹  0,8333n<0,4250 \cdot 0,8333^n < 100 \implies 0,8333^n < 0,4250⋅0,8333n<100⟹0,8333n<0,4

  • Zkouška:
    1:208,3, 2:173,6, 3:144,7, 4:120,6, 5:100,5, 6:83,8 ✅

Odpověď: den 6

16. Teplota tekutiny

Tekutina má 90 °C, každý den klesne o 5 %. Kdy bude méně než 50 °C?

Řešení:

  • q=0,95q = 0,95q=0,95

  • 90⋅0,95n<50  ⟹  0,95n<0,555590 \cdot 0,95^n < 50 \implies 0,95^n < 0,555590⋅0,95n<50⟹0,95n<0,5555

  • Zkouška:
    1:85,5, 2:81,2, 3:77,1, 4:73,2, 5:69,5, 6:66,0, 7:62,7, 8:59,6, 9:56,6, 10:53,7, 11:51,0, 12:48,4 ✅

Odpověď: den 12

17. Pokles stavu účtu

Na účtu je 5 000 Kč, každý měsíc se sníží o 12 %. Po kolika měsících bude poprvé pod 2 500 Kč?

Řešení:

  • q=0,88q = 0,88q=0,88

  • 5000⋅0,88n<2500  ⟹  0,88n<0,55000 \cdot 0,88^n < 2500 \implies 0,88^n < 0,55000⋅0,88n<2500⟹0,88n<0,5

  • Zkouška:
    1:4400, 2:3872, 3:3409, 4:2999, 5:2639, 6:2320 ✅

Odpověď: měsíc 6

18. Výška stromu

Strom roste každý rok o 10 %. Za kolik let bude dvojnásobný, pokud nyní měří 5 m?

Řešení:

  • q=1,1q = 1,1q=1,1

  • 5⋅1,1n>10  ⟹  1,1n>25 \cdot 1,1^n > 10 \implies 1,1^n > 25⋅1,1n>10⟹1,1n>2

  • Zkouška:
    1:5,5, 2:6,05, 3:6,655, 4:7,32, 5:8,05, 6:8,86, 7:9,75, 8:10,72 ✅

Odpověď: 8 let

19. Pokles radioaktivity

Radioaktivní látka má 100 g, každý den ztratí 5 %. Kdy klesne pod 50 g?

Řešení:

  • q=0,95q = 0,95q=0,95

  • 100⋅0,95n<50  ⟹  0,95n<0,5100 \cdot 0,95^n < 50 \implies 0,95^n < 0,5100⋅0,95n<50⟹0,95n<0,5

  • Zkouška:
    1:95, 2:90,25, 3:85,73, 4:81,44, 5:77,37, 6:73,5, 7:69,82, 8:66,33, 9:63,01, 10:59,86, 11:56,87, 12:54,03, 13:51,33, 14:48,76 ✅

Odpověď: den 14

20. Pokles obsahu knihovny

Knihovna má 600 knih, každý měsíc se ztratí 8 % knih. Po kolika měsících bude méně než 300 knih?

Řešení:

  • q=0,92q = 0,92q=0,92

  • 600⋅0,92n<300  ⟹  0,92n<0,5600 \cdot 0,92^n < 300 \implies 0,92^n < 0,5600⋅0,92n<300⟹0,92n<0,5

  • Zkouška:
    1:552, 2:508, 3:467, 4:430, 5:396, 6:364, 7:334, 8:307, 9:282 ✅

Odpověď: měsíc 9