Nejdřív si jasně ukážeme vzorec pro derivaci součinu:

(u⋅v)′=u′v+uv′(u\cdot v)' = u'v + uv'(u⋅v)′=u′v+uv′

ZADÁNÍ – 5 příkladů (součin)

1. y=x⋅x2y = x \cdot x^2y=x⋅x2
2. y=(x2+1)(x3)y = (x^2 + 1)(x^3)y=(x2+1)(x3)
3. y=(2x−3)(x2+4)y = (2x - 3)(x^2 + 4)y=(2x−3)(x2+4)
4. y=x3⋅(5x−1)y = x^3 \cdot (5x - 1)y=x3⋅(5x−1)
5. y=(x2+2x)(x2−x)y = (x^2 + 2x)(x^2 - x)y=(x2+2x)(x2−x)

VÝPOČET – krok za krokem (vždy vzorec + dosazení)

1. příklad

y=x⋅x2y = x \cdot x^2y=x⋅x2

Vzorec:

(u⋅v)′=u′v+uv′(u \cdot v)' = u'v + uv'(u⋅v)′=u′v+uv′

Volíme:
u=xu = xu=x, v=x2v = x^2v=x2

Derivace:
u′=1u' = 1u′=1, v′=2xv' = 2xv′=2x

Dosazení:

y′=1⋅x2+x⋅2xy' = 1 \cdot x^2 + x \cdot 2xy′=1⋅x2+x⋅2x y′=x2+2x2=3x2y' = x^2 + 2x^2 = 3x^2y′=x2+2x2=3x2

2. příklad

y=(x2+1)(x3)y = (x^2 + 1)(x^3)y=(x2+1)(x3)

Vzorec:

(u⋅v)′=u′v+uv′(u \cdot v)' = u'v + uv'(u⋅v)′=u′v+uv′

Volíme:
u=x2+1u = x^2 + 1u=x2+1, v=x3v = x^3v=x3

Derivace:
u′=2xu' = 2xu′=2x, v′=3x2v' = 3x^2v′=3x2

Dosazení:

y′=2x⋅x3+(x2+1)⋅3x2y' = 2x \cdot x^3 + (x^2 + 1)\cdot 3x^2y′=2x⋅x3+(x2+1)⋅3x2 y′=2x4+3x2(x2+1)y' = 2x^4 + 3x^2(x^2 + 1)y′=2x4+3x2(x2+1) y′=2x4+3x4+3x2=5x4+3x2y' = 2x^4 + 3x^4 + 3x^2 = 5x^4 + 3x^2y′=2x4+3x4+3x2=5x4+3x2

3. příklad

y=(2x−3)(x2+4)y = (2x - 3)(x^2 + 4)y=(2x−3)(x2+4)

Vzorec:

(u⋅v)′=u′v+uv′(u \cdot v)' = u'v + uv'(u⋅v)′=u′v+uv′

Volíme:
u=2x−3u = 2x - 3u=2x−3, v=x2+4v = x^2 + 4v=x2+4

Derivace:
u′=2u' = 2u′=2, v′=2xv' = 2xv′=2x

Dosazení:

y′=2(x2+4)+(2x−3)(2x)y' = 2(x^2 + 4) + (2x - 3)(2x)y′=2(x2+4)+(2x−3)(2x) y′=2x2+8+4x2−6xy' = 2x^2 + 8 + 4x^2 - 6xy′=2x2+8+4x2−6x y′=6x2−6x+8y' = 6x^2 - 6x + 8y′=6x2−6x+8

4. příklad

y=x3(5x−1)y = x^3(5x - 1)y=x3(5x−1)

Vzorec:

(u⋅v)′=u′v+uv′(u \cdot v)' = u'v + uv'(u⋅v)′=u′v+uv′

Volíme:
u=x3u = x^3u=x3, v=5x−1v = 5x - 1v=5x−1

Derivace:
u′=3x2u' = 3x^2u′=3x2, v′=5v' = 5v′=5

Dosazení:

y′=3x2(5x−1)+x3⋅5y' = 3x^2(5x - 1) + x^3 \cdot 5y′=3x2(5x−1)+x3⋅5 y′=15x3−3x2+5x3y' = 15x^3 - 3x^2 + 5x^3y′=15x3−3x2+5x3 y′=20x3−3x2y' = 20x^3 - 3x^2y′=20x3−3x2

5. příklad

y=(x2+2x)(x2−x)y = (x^2 + 2x)(x^2 - x)y=(x2+2x)(x2−x)

Vzorec:

(u⋅v)′=u′v+uv′(u \cdot v)' = u'v + uv'(u⋅v)′=u′v+uv′

Volíme:
u=x2+2xu = x^2 + 2xu=x2+2x, v=x2−xv = x^2 - xv=x2−x

Derivace:
u′=2x+2u' = 2x + 2u′=2x+2, v′=2x−1v' = 2x - 1v′=2x−1

Dosazení:

y′=(2x+2)(x2−x)+(x2+2x)(2x−1)y' = (2x + 2)(x^2 - x) + (x^2 + 2x)(2x - 1)y′=(2x+2)(x2−x)+(x2+2x)(2x−1)

Rozepíšeme:

=(2x+2)(x2−x)+(x2+2x)(2x−1)= (2x+2)(x^2 - x) + (x^2+2x)(2x-1)=(2x+2)(x2−x)+(x2+2x)(2x−1) =2x3−2x2+2x2−2x+2x3+4x2−x2−2x= 2x^3 - 2x^2 + 2x^2 - 2x + 2x^3 + 4x^2 - x^2 - 2x=2x3−2x2+2x2−2x+2x3+4x2−x2−2x =4x3+3x2−4x= 4x^3 + 3x^2 - 4x=4x3+3x2−4x

Pokud chceš, můžeme pokračovat:

• těžší příklady (zlomky / odmocniny v součinu)
• nebo kombinace (součin + řetězové pravidlo)

skvěle - potřebuji další 5 stejný styl

Jasně, pokračujeme úplně stejným stylem 👇

ZADÁNÍ – dalších 5 příkladů (součin)

1. y=(x+1)(x2+x)y = (x + 1)(x^2 + x)y=(x+1)(x2+x)
2. y=(3x2−2x)(x−4)y = (3x^2 - 2x)(x - 4)y=(3x2−2x)(x−4)
3. y=(x3+2)(2x2−x)y = (x^3 + 2)(2x^2 - x)y=(x3+2)(2x2−x)
4. y=(x2−1)(x2+1)y = (x^2 - 1)(x^2 + 1)y=(x2−1)(x2+1)
5. y=(2x+5)(x3−x)y = (2x + 5)(x^3 - x)y=(2x+5)(x3−x)

VÝPOČET – krok za krokem (vzorec vždy uveden)

Nejdřív připomenutí:

(u⋅v)′=u′v+uv′(u\cdot v)' = u'v + uv'(u⋅v)′=u′v+uv′

6. příklad

y=(x+1)(x2+x)y = (x + 1)(x^2 + x)y=(x+1)(x2+x)

Vzorec:

(u⋅v)′=u′v+uv′(u \cdot v)' = u'v + uv'(u⋅v)′=u′v+uv′

Volíme:
u=x+1u = x + 1u=x+1, v=x2+xv = x^2 + xv=x2+x

Derivace:
u′=1u' = 1u′=1, v′=2x+1v' = 2x + 1v′=2x+1

Dosazení:

y′=1⋅(x2+x)+(x+1)(2x+1)y' = 1 \cdot (x^2 + x) + (x + 1)(2x + 1)y′=1⋅(x2+x)+(x+1)(2x+1) y′=x2+x+(x+1)(2x+1)y' = x^2 + x + (x + 1)(2x + 1)y′=x2+x+(x+1)(2x+1) y′=x2+x+(2x2+x+2x+1)y' = x^2 + x + (2x^2 + x + 2x + 1)y′=x2+x+(2x2+x+2x+1) y′=x2+x+2x2+3x+1y' = x^2 + x + 2x^2 + 3x + 1y′=x2+x+2x2+3x+1 y′=3x2+4x+1y' = 3x^2 + 4x + 1y′=3x2+4x+1

7. příklad

y=(3x2−2x)(x−4)y = (3x^2 - 2x)(x - 4)y=(3x2−2x)(x−4)

Vzorec:

(u⋅v)′=u′v+uv′(u \cdot v)' = u'v + uv'(u⋅v)′=u′v+uv′

Volíme:
u=3x2−2xu = 3x^2 - 2xu=3x2−2x, v=x−4v = x - 4v=x−4

Derivace:
u′=6x−2u' = 6x - 2u′=6x−2, v′=1v' = 1v′=1

Dosazení:

y′=(6x−2)(x−4)+(3x2−2x)⋅1y' = (6x - 2)(x - 4) + (3x^2 - 2x)\cdot 1y′=(6x−2)(x−4)+(3x2−2x)⋅1 y′=(6x−2)(x−4)+3x2−2xy' = (6x - 2)(x - 4) + 3x^2 - 2xy′=(6x−2)(x−4)+3x2−2x y′=6x2−24x−2x+8+3x2−2xy' = 6x^2 - 24x - 2x + 8 + 3x^2 - 2xy′=6x2−24x−2x+8+3x2−2x y′=9x2−28x+8y' = 9x^2 - 28x + 8y′=9x2−28x+8

8. příklad

y=(x3+2)(2x2−x)y = (x^3 + 2)(2x^2 - x)y=(x3+2)(2x2−x)

Vzorec:

(u⋅v)′=u′v+uv′(u \cdot v)' = u'v + uv'(u⋅v)′=u′v+uv′

Volíme:
u=x3+2u = x^3 + 2u=x3+2, v=2x2−xv = 2x^2 - xv=2x2−x

Derivace:
u′=3x2u' = 3x^2u′=3x2, v′=4x−1v' = 4x - 1v′=4x−1

Dosazení:

y′=3x2(2x2−x)+(x3+2)(4x−1)y' = 3x^2(2x^2 - x) + (x^3 + 2)(4x - 1)y′=3x2(2x2−x)+(x3+2)(4x−1) y′=6x4−3x3+(x3+2)(4x−1)y' = 6x^4 - 3x^3 + (x^3 + 2)(4x - 1)y′=6x4−3x3+(x3+2)(4x−1) y′=6x4−3x3+(4x4−x3+8x−2)y' = 6x^4 - 3x^3 + (4x^4 - x^3 + 8x - 2)y′=6x4−3x3+(4x4−x3+8x−2) y′=10x4−4x3+8x−2y' = 10x^4 - 4x^3 + 8x - 2y′=10x4−4x3+8x−2

9. příklad

y=(x2−1)(x2+1)y = (x^2 - 1)(x^2 + 1)y=(x2−1)(x2+1)

Vzorec:

(u⋅v)′=u′v+uv′(u \cdot v)' = u'v + uv'(u⋅v)′=u′v+uv′

Volíme:
u=x2−1u = x^2 - 1u=x2−1, v=x2+1v = x^2 + 1v=x2+1

Derivace:
u′=2xu' = 2xu′=2x, v′=2xv' = 2xv′=2x

Dosazení:

y′=2x(x2+1)+(x2−1)(2x)y' = 2x(x^2 + 1) + (x^2 - 1)(2x)y′=2x(x2+1)+(x2−1)(2x) y′=2x(x2+1)+2x(x2−1)y' = 2x(x^2 + 1) + 2x(x^2 - 1)y′=2x(x2+1)+2x(x2−1) y′=2x3+2x+2x3−2xy' = 2x^3 + 2x + 2x^3 - 2xy′=2x3+2x+2x3−2x y′=4x3y' = 4x^3y′=4x3

10. příklad

y=(2x+5)(x3−x)y = (2x + 5)(x^3 - x)y=(2x+5)(x3−x)

Vzorec:

(u⋅v)′=u′v+uv′(u \cdot v)' = u'v + uv'(u⋅v)′=u′v+uv′

Volíme:
u=2x+5u = 2x + 5u=2x+5, v=x3−xv = x^3 - xv=x3−x

Derivace:
u′=2u' = 2u′=2, v′=3x2−1v' = 3x^2 - 1v′=3x2−1

Dosazení:

y′=2(x3−x)+(2x+5)(3x2−1)y' = 2(x^3 - x) + (2x + 5)(3x^2 - 1)y′=2(x3−x)+(2x+5)(3x2−1) y′=2x3−2x+(2x+5)(3x2−1)y' = 2x^3 - 2x + (2x + 5)(3x^2 - 1)y′=2x3−2x+(2x+5)(3x2−1) y′=2x3−2x+(6x3−2x+15x2−5)y' = 2x^3 - 2x + (6x^3 - 2x + 15x^2 - 5)y′=2x3−2x+(6x3−2x+15x2−5) y′=8x3+15x2−4x−5y' = 8x^3 + 15x^2 - 4x - 5y′=8x3+15x2−4x−5

Chceš další krok?
👉 můžeme přejít na součin + zlomek, nebo součin + odmocniny (to už je výrazně těžší)

dalších 5 stejný styl - součin plus odmocniny

Dobře, teď přidáme odmocniny v součinu (pořád stejný styl, jen navíc derivace odmocniny).

ZADÁNÍ – 5 příkladů (součin + odmocniny)

1. y=x⋅xy = x \cdot \sqrt{x}y=x⋅x​
2. y=(x2+1)xy = (x^2 + 1)\sqrt{x}y=(x2+1)x​
3. y=(2x−1)x+3y = (2x - 1)\sqrt{x + 3}y=(2x−1)x+3​
4. y=x2⋅2xy = x^2 \cdot \sqrt{2x}y=x2⋅2x​
5. y=(x+4)x2+1y = (x + 4)\sqrt{x^2 + 1}y=(x+4)x2+1​

VÝPOČET – krok za krokem (vzorce vždy uvedeny)

Nejdřív vzorce:

(u⋅v)′=u′v+uv′(u\cdot v)' = u'v + uv'(u⋅v)′=u′v+uv′

(f(x))′=f′(x)2f(x)(\sqrt{f(x)})' = \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}(f(x)​)′=2f(x)​f′(x)​

11. příklad

y=x⋅xy = x \cdot \sqrt{x}y=x⋅x​

Vzorec:

(u⋅v)′=u′v+uv′(u \cdot v)' = u'v + uv'(u⋅v)′=u′v+uv′

Volíme:
u=xu = xu=x, v=xv = \sqrt{x}v=x​

Derivace:
u′=1u' = 1u′=1, v′=12xv' = \frac{1}{2\sqrt{x}}v′=2x​1​

Dosazení:

y′=1⋅x+x⋅12xy' = 1 \cdot \sqrt{x} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}y′=1⋅x​+x⋅2x​1​ y′=x+x2xy' = \sqrt{x} + \frac{x}{2\sqrt{x}}y′=x​+2x​x​ y′=2x+x2x=3x2xy' = \frac{2x + x}{2\sqrt{x}} = \frac{3x}{2\sqrt{x}}y′=2x​2x+x​=2x​3x​

12. příklad

y=(x2+1)xy = (x^2 + 1)\sqrt{x}y=(x2+1)x​

Vzorec:

(u⋅v)′=u′v+uv′(u \cdot v)' = u'v + uv'(u⋅v)′=u′v+uv′

Volíme:
u=x2+1u = x^2 + 1u=x2+1, v=xv = \sqrt{x}v=x​

Derivace:
u′=2xu' = 2xu′=2x, v′=12xv' = \frac{1}{2\sqrt{x}}v′=2x​1​

Dosazení:

y′=2xx+(x2+1)12xy' = 2x\sqrt{x} + (x^2 + 1)\frac{1}{2\sqrt{x}}y′=2xx​+(x2+1)2x​1​

13. příklad

y=(2x−1)x+3y = (2x - 1)\sqrt{x + 3}y=(2x−1)x+3​

Vzorec:

(u⋅v)′=u′v+uv′(u \cdot v)' = u'v + uv'(u⋅v)′=u′v+uv′

Volíme:
u=2x−1u = 2x - 1u=2x−1, v=x+3v = \sqrt{x + 3}v=x+3​

Derivace:
u′=2u' = 2u′=2, v′=12x+3v' = \frac{1}{2\sqrt{x + 3}}v′=2x+3​1​

Dosazení:

y′=2x+3+(2x−1)12x+3y' = 2\sqrt{x + 3} + (2x - 1)\frac{1}{2\sqrt{x + 3}}y′=2x+3​+(2x−1)2x+3​1​

14. příklad

y=x2⋅2xy = x^2 \cdot \sqrt{2x}y=x2⋅2x​

Vzorec:

(u⋅v)′=u′v+uv′(u \cdot v)' = u'v + uv'(u⋅v)′=u′v+uv′

Volíme:
u=x2u = x^2u=x2, v=2xv = \sqrt{2x}v=2x​

Derivace:
u′=2xu' = 2xu′=2x,
v′=222x=12xv' = \frac{2}{2\sqrt{2x}} = \frac{1}{\sqrt{2x}}v′=22x​2​=2x​1​

Dosazení:

y′=2x2x+x2⋅12xy' = 2x\sqrt{2x} + x^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2x}}y′=2x2x​+x2⋅2x​1​

15. příklad

y=(x+4)x2+1y = (x + 4)\sqrt{x^2 + 1}y=(x+4)x2+1​

Vzorec:

(u⋅v)′=u′v+uv′(u \cdot v)' = u'v + uv'(u⋅v)′=u′v+uv′

Volíme:
u=x+4u = x + 4u=x+4, v=x2+1v = \sqrt{x^2 + 1}v=x2+1​

Derivace:
u′=1u' = 1u′=1,
v′=2x2x2+1=xx2+1v' = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}v′=2x2+1​2x​=x2+1​x​

Dosazení:

y′=x2+1+(x+4)xx2+1y' = \sqrt{x^2 + 1} + (x + 4)\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}y′=x2+1​+(x+4)x2+1​x​

Pokud chceš další level:
👉 můžeme dát součin + odmocnina + zlomek (už hodně těžké)
👉 nebo součin + řetězové pravidlo + závorky (typické maturitní / SŠ těžší)

nyní součin plus zlomek

Dobře — teď součin + zlomek. Držíme úplně stejný styl.

ZADÁNÍ – 5 příkladů (součin + zlomek)

1. y=x⋅1x+1y = x \cdot \frac{1}{x+1}y=x⋅x+11​
2. y=(x2+1)⋅1xy = (x^2 + 1)\cdot \frac{1}{x}y=(x2+1)⋅x1​
3. y=(2x−3)⋅x+1xy = (2x - 3)\cdot \frac{x+1}{x}y=(2x−3)⋅xx+1​
4. y=x2⋅1x2+1y = x^2 \cdot \frac{1}{x^2 + 1}y=x2⋅x2+11​
5. y=(x+2)⋅xx+1y = (x + 2)\cdot \frac{x}{x+1}y=(x+2)⋅x+1x​

VÝPOČET – krok za krokem (vzorce vždy uvedeny)

Použijeme:

(u⋅v)′=u′v+uv′(u\cdot v)' = u'v + uv'(u⋅v)′=u′v+uv′

a derivaci zlomku (vnímáme jako podíl funkcí):

(fg)′=f′g−fg′g2\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}(gf​)′=g2f′g−fg′​

16. příklad

y=x⋅1x+1y = x \cdot \frac{1}{x+1}y=x⋅x+11​

Vzorec:

(u⋅v)′=u′v+uv′(u \cdot v)' = u'v + uv'(u⋅v)′=u′v+uv′

Volíme:
u=xu = xu=x, v=1x+1v = \frac{1}{x+1}v=x+11​

Derivace:
u′=1u' = 1u′=1

Pro vvv:

v′=0⋅(x+1)−1⋅1(x+1)2=−1(x+1)2v' = \frac{0\cdot(x+1) - 1\cdot 1}{(x+1)^2} = -\frac{1}{(x+1)^2}v′=(x+1)20⋅(x+1)−1⋅1​=−(x+1)21​

Dosazení:

y′=1⋅1x+1+x⋅(−1(x+1)2)y' = 1 \cdot \frac{1}{x+1} + x \cdot \left(-\frac{1}{(x+1)^2}\right)y′=1⋅x+11​+x⋅(−(x+1)21​) y′=1x+1−x(x+1)2y' = \frac{1}{x+1} - \frac{x}{(x+1)^2}y′=x+11​−(x+1)2x​ y′=x+1−x(x+1)2=1(x+1)2y' = \frac{x+1 - x}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2}y′=(x+1)2x+1−x​=(x+1)21​

17. příklad

y=(x2+1)⋅1xy = (x^2 + 1)\cdot \frac{1}{x}y=(x2+1)⋅x1​

Vzorec:

(u⋅v)′=u′v+uv′(u \cdot v)' = u'v + uv'(u⋅v)′=u′v+uv′

Volíme:
u=x2+1u = x^2 + 1u=x2+1, v=1xv = \frac{1}{x}v=x1​

Derivace:
u′=2xu' = 2xu′=2x

v′=−1x2v' = -\frac{1}{x^2}v′=−x21​

Dosazení:

y′=2x⋅1x+(x2+1)(−1x2)y' = 2x \cdot \frac{1}{x} + (x^2 + 1)\left(-\frac{1}{x^2}\right)y′=2x⋅x1​+(x2+1)(−x21​) y′=2−x2+1x2y' = 2 - \frac{x^2 + 1}{x^2}y′=2−x2x2+1​ y′=2−1−1x2=1−1x2y' = 2 - 1 - \frac{1}{x^2} = 1 - \frac{1}{x^2}y′=2−1−x21​=1−x21​

18. příklad

y=(2x−3)⋅x+1xy = (2x - 3)\cdot \frac{x+1}{x}y=(2x−3)⋅xx+1​

Vzorec:

(u⋅v)′=u′v+uv′(u \cdot v)' = u'v + uv'(u⋅v)′=u′v+uv′

Volíme:
u=2x−3u = 2x - 3u=2x−3, v=x+1xv = \frac{x+1}{x}v=xx+1​

Derivace:
u′=2u' = 2u′=2

v′=1⋅x−(x+1)⋅1x2=x−x−1x2=−1x2v' = \frac{1\cdot x - (x+1)\cdot 1}{x^2} = \frac{x - x - 1}{x^2} = -\frac{1}{x^2}v′=x21⋅x−(x+1)⋅1​=x2x−x−1​=−x21​

Dosazení:

y′=2⋅x+1x+(2x−3)(−1x2)y' = 2\cdot \frac{x+1}{x} + (2x - 3)\left(-\frac{1}{x^2}\right)y′=2⋅xx+1​+(2x−3)(−x21​) y′=2(x+1)x−2x−3x2y' = \frac{2(x+1)}{x} - \frac{2x - 3}{x^2}y′=x2(x+1)​−x22x−3​

19. příklad

y=x2⋅1x2+1y = x^2 \cdot \frac{1}{x^2 + 1}y=x2⋅x2+11​

Vzorec:

(u⋅v)′=u′v+uv′(u \cdot v)' = u'v + uv'(u⋅v)′=u′v+uv′

Volíme:
u=x2u = x^2u=x2, v=1x2+1v = \frac{1}{x^2 + 1}v=x2+11​

Derivace:
u′=2xu' = 2xu′=2x

v′=−2x(x2+1)2v' = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}v′=−(x2+1)22x​

Dosazení:

y′=2x⋅1x2+1+x2(−2x(x2+1)2)y' = 2x \cdot \frac{1}{x^2 + 1} + x^2\left(-\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}\right)y′=2x⋅x2+11​+x2(−(x2+1)22x​) y′=2xx2+1−2x3(x2+1)2y' = \frac{2x}{x^2 + 1} - \frac{2x^3}{(x^2 + 1)^2}y′=x2+12x​−(x2+1)22x3​

20. příklad

y=(x+2)⋅xx+1y = (x + 2)\cdot \frac{x}{x+1}y=(x+2)⋅x+1x​

Vzorec:

(u⋅v)′=u′v+uv′(u \cdot v)' = u'v + uv'(u⋅v)′=u′v+uv′

Volíme:
u=x+2u = x + 2u=x+2, v=xx+1v = \frac{x}{x+1}v=x+1x​

Derivace:
u′=1u' = 1u′=1

v′=1⋅(x+1)−x⋅1(x+1)2=1(x+1)2v' = \frac{1\cdot(x+1) - x\cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2}v′=(x+1)21⋅(x+1)−x⋅1​=(x+1)21​

Dosazení:

y′=xx+1+(x+2)1(x+1)2y' = \frac{x}{x+1} + (x+2)\frac{1}{(x+1)^2}y′=x+1x​+(x+2)(x+1)21​

Chceš pokračovat?
👉 můžeme dát kombinace všeho dohromady (součin + zlomek + odmocnina)
👉 nebo začít těžké maturitní typy (více kroků + úpravy)

kombinace všeho dohromady

Dobře — teď už kombinace všeho: součin + zlomek + odmocnina.
Pořád držím přesně stejný styl.

ZADÁNÍ – 5 příkladů (kombinace)

1. y=x⋅xx+1y = x \cdot \frac{\sqrt{x}}{x+1}y=x⋅x+1x​​
2. y=(x2+1)⋅xxy = (x^2 + 1)\cdot \frac{\sqrt{x}}{x}y=(x2+1)⋅xx​​
3. y=(2x−1)⋅x+2xy = (2x - 1)\cdot \frac{\sqrt{x+2}}{x}y=(2x−1)⋅xx+2​​
4. y=x2⋅xx2+1y = x^2 \cdot \frac{\sqrt{x}}{x^2 + 1}y=x2⋅x2+1x​​
5. y=(x+3)⋅x2+1x+1y = (x + 3)\cdot \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x+1}y=(x+3)⋅x+1x2+1​​

VÝPOČET – krok za krokem (vzorce vždy uvedeny)

Použijeme:

(u⋅v)′=u′v+uv′(u\cdot v)' = u'v + uv'(u⋅v)′=u′v+uv′

(fg)′=f′g−fg′g2\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}(gf​)′=g2f′g−fg′​

(f(x))′=f′(x)2f(x)(\sqrt{f(x)})' = \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}(f(x)​)′=2f(x)​f′(x)​

21. příklad

y=x⋅xx+1y = x \cdot \frac{\sqrt{x}}{x+1}y=x⋅x+1x​​

Vzorec:

(u⋅v)′=u′v+uv′(u \cdot v)' = u'v + uv'(u⋅v)′=u′v+uv′

Volíme:
u=xu = xu=x, v=xx+1v = \frac{\sqrt{x}}{x+1}v=x+1x​​

Derivace:
u′=1u' = 1u′=1

Pro vvv:

v′=12x(x+1)−x⋅1(x+1)2v' = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(x+1) - \sqrt{x}\cdot 1}{(x+1)^2}v′=(x+1)22x​1​(x+1)−x​⋅1​

Dosazení:

y′=xx+1+x⋅12x(x+1)−x(x+1)2y' = \frac{\sqrt{x}}{x+1} + x \cdot \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(x+1) - \sqrt{x}}{(x+1)^2}y′=x+1x​​+x⋅(x+1)22x​1​(x+1)−x​​

22. příklad

y=(x2+1)⋅xxy = (x^2 + 1)\cdot \frac{\sqrt{x}}{x}y=(x2+1)⋅xx​​

Vzorec:

(u⋅v)′=u′v+uv′(u \cdot v)' = u'v + uv'(u⋅v)′=u′v+uv′

Volíme:
u=x2+1u = x^2 + 1u=x2+1, v=xxv = \frac{\sqrt{x}}{x}v=xx​​

Derivace:
u′=2xu' = 2xu′=2x

v′=12x⋅x−x⋅1x2v' = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot x - \sqrt{x}\cdot 1}{x^2}v′=x22x​1​⋅x−x​⋅1​ =x2x−xx2= \frac{\frac{x}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x}}{x^2}=x22x​x​−x​​

Dosazení:

y′=2x⋅xx+(x2+1)⋅x2x−xx2y' = 2x\cdot \frac{\sqrt{x}}{x} + (x^2 + 1)\cdot \frac{\frac{x}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x}}{x^2}y′=2x⋅xx​​+(x2+1)⋅x22x​x​−x​​

23. příklad

y=(2x−1)⋅x+2xy = (2x - 1)\cdot \frac{\sqrt{x+2}}{x}y=(2x−1)⋅xx+2​​

Vzorec:

(u⋅v)′=u′v+uv′(u \cdot v)' = u'v + uv'(u⋅v)′=u′v+uv′

Volíme:
u=2x−1u = 2x - 1u=2x−1, v=x+2xv = \frac{\sqrt{x+2}}{x}v=xx+2​​

Derivace:
u′=2u' = 2u′=2

v′=12x+2⋅x−x+2⋅1x2v' = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x+2}}\cdot x - \sqrt{x+2}\cdot 1}{x^2}v′=x22x+2​1​⋅x−x+2​⋅1​

Dosazení:

y′=2⋅x+2x+(2x−1)⋅x2x+2−x+2x2y' = 2\cdot \frac{\sqrt{x+2}}{x} + (2x - 1)\cdot \frac{\frac{x}{2\sqrt{x+2}} - \sqrt{x+2}}{x^2}y′=2⋅xx+2​​+(2x−1)⋅x22x+2​x​−x+2​​

24. příklad

y=x2⋅xx2+1y = x^2 \cdot \frac{\sqrt{x}}{x^2 + 1}y=x2⋅x2+1x​​

Vzorec:

(u⋅v)′=u′v+uv′(u \cdot v)' = u'v + uv'(u⋅v)′=u′v+uv′

Volíme:
u=x2u = x^2u=x2, v=xx2+1v = \frac{\sqrt{x}}{x^2 + 1}v=x2+1x​​

Derivace:
u′=2xu' = 2xu′=2x

v′=12x(x2+1)−x⋅2x(x2+1)2v' = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(x^2 + 1) - \sqrt{x}\cdot 2x}{(x^2 + 1)^2}v′=(x2+1)22x​1​(x2+1)−x​⋅2x​

Dosazení:

y′=2x⋅xx2+1+x2⋅12x(x2+1)−2xx(x2+1)2y' = 2x\cdot \frac{\sqrt{x}}{x^2 + 1} + x^2 \cdot \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(x^2 + 1) - 2x\sqrt{x}}{(x^2 + 1)^2}y′=2x⋅x2+1x​​+x2⋅(x2+1)22x​1​(x2+1)−2xx​​

25. příklad

y=(x+3)⋅x2+1x+1y = (x + 3)\cdot \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x+1}y=(x+3)⋅x+1x2+1​​

Vzorec:

(u⋅v)′=u′v+uv′(u \cdot v)' = u'v + uv'(u⋅v)′=u′v+uv′

Volíme:
u=x+3u = x + 3u=x+3, v=x2+1x+1v = \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x+1}v=x+1x2+1​​

Derivace:
u′=1u' = 1u′=1

v′=xx2+1(x+1)−x2+1⋅1(x+1)2v' = \frac{\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}(x+1) - \sqrt{x^2 + 1}\cdot 1}{(x+1)^2}v′=(x+1)2x2+1​x​(x+1)−x2+1​⋅1​

Dosazení:

y′=x2+1x+1+(x+3)⋅xx2+1(x+1)−x2+1(x+1)2y' = \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x+1} + (x + 3)\cdot \frac{\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}(x+1) - \sqrt{x^2 + 1}}{(x+1)^2}y′=x+1x2+1​​+(x+3)⋅(x+1)2x2+1​x​(x+1)−x2+1​​

Pokud chceš další level (už fakt těžké):
👉 můžeme to ještě celé zjednodušovat na jeden zlomek
👉 nebo dát příklady na zko

Derivace - součin, podíl, odmocnina

Enter your text here...