Dělitelnost - slovní úlohy

1. Při vystoupení se cvičenci zařazují do pětistupů, šestistupů, čtyřstupů a trojstupu. Jaký musí být nejmenší počet cvičenců?

Hledáme nejmenší číslo dělitelné 5, 6, 4 a 3 → nejmenší společný násobek (NSN)

Rozklad:

  • 5 = 5

  • 6 = 2 · 3

  • 4 = 2²

  • 3 = 3

NSN = 2² · 3 · 5 = 60

2. Zahradník má 72 bílých a 90 červených růží. Jaký největší počet kytic může svázat, má-li být v každé kytici stejný počet bílých a červených růží? Kolik bude v kytici bílých a kolik červených růží?

Máme 72 bílých a 90 červených → chceme co nejvíc stejných kytic → největší společný dělitel (NSD)

NSD(72, 90):

  • 72 = 2³ · 3²

  • 90 = 2 · 3² · 5

NSD = 2 · 3² = 18

Počet kytic: 18

V jedné kytici:

  • bílé: 72 ÷ 18 = 4

  • červené: 90 ÷ 18 = 5

Výsledek: 18 kytic, 4 bílé a 5 červených

3. Na sportovní závody se přihlásilo 90 chlapců a 42 dívky. Kolikačlenná chlapecká a dívčí družstva s největším počtem členů můžeme sestavit, aby mohli všichni závodit? (v družstvech chlapců i dívek je stejný počet členů)

90 chlapců, 42 dívek → stejné velikosti družstev → NSD

NSD(90, 42):

  • 90 = 2 · 3² · 5

  • 42 = 2 · 3 · 7

NSD = 2 · 3 = 6

Výsledek: družstva po 6 žácích

4. V balíku je méně než 40 m látky. Budeme-li z ní stříhat na košile po 2,4 m nebo na šaty po 3 m, nezůstane zbytek. Kolik metrů látky bylo v balíku? Kolik jsme mohli ustřihnout košil?

Hledáme číslo < 40, dělitelné 2,4 a 3

2,4 m = 2.4 → převedeme:

  • 2,4 = 12/5
    → hledáme společný násobek 2,4 a 3

Zkusíme:
NSN(2,4; 3) = 12

látka: 36 m (největší pod 40)

Košile:
36 ÷ 2,4 = 15

Výsledek: 36 m, 15 košil

5. Ve 4.50 vyjíždějí 2 tramvaje na různé linky. První se vrací na konečnou za 1 hodinu, druhá za 45 minut. V kolik hodin nejdříve vyjedou opět současně?

Intervaly:

  • 60 minut

  • 45 minut

NSN(60, 45):

  • 60 = 2² · 3 · 5

  • 45 = 3² · 5

NSN = 2² · 3² · 5 = 180 minut = 3 hodiny

4:50 + 3 hodiny = 7:50

Výsledek: 7:50

6. V 5.00 hodin vyjely z konečné stanice čtyři autobusy. První linka má interval 15 minut, druhá 20 minut, třetí 25 minut a čtvrtá 45 minut. V kolik hodin vyjedou zase všechny linky společně?

Intervaly čtyř linek: 15, 20, 25, 45 minut → hledáme, kdy všechny vyjedou současně → NSN(15, 20, 25, 45)

Rozklad:

  • 15 = 3 · 5

  • 20 = 2² · 5

  • 25 = 5²

  • 45 = 3² · 5

NSN = 2² · 3² · 5² = 4 · 9 · 25 = 900 minut = 15 hodin

Start: 5:00 + 15 hod = 20:00

Výsledek: 20:00

7. Žáci dostali celkem 416 učebnic a 896 sešitů. Každý žák má dostat stejný počet sešitů a stejný počet učebnic. Kolik je ve třídě žáků, víme-li, že jich je méně než 40?

416 učebnic, 896 sešitů → stejné množství na žáka, méně než 40 žáků → hledáme NSD(416, 896)

Rozklad:

  • 416 = 2⁵ · 13

  • 896 = 2⁷ · 7

NSD = 2⁵ = 32

Počet žáků: 32

  • učebnice na žáka: 416 ÷ 32 = 13

  • sešity na žáka: 896 ÷ 32 = 28

Výsledek: 32 žáků, 13 učebnic a 28 sešitů

8. úloha


9. úloha


200 perníčků, 240 bonbonů, 360 ořechů → více než 20 balíčků, všechny stejné → hledáme NSD(200, 240, 360)

Rozklad:

  • 200 = 2³ · 5²

  • 240 = 2⁴ · 3 · 5

  • 360 = 2³ · 3² · 5

NSD = 2³ · 5 = 40

Počet balíčků: 40

Obsah jednoho balíčku:

  • perníčky: 200 ÷ 40 = 5

  • bonbony: 240 ÷ 40 = 6

  • ořechy: 360 ÷ 40 = 9

✅ Výsledek: 40 balíčků, 5 perníčků, 6 bonbonů, 9 ořechů

Pokud chceš, připravím hned úlohy 11–17 se stejným podrobným postupem a výsledky.

Chceš, abych pokračovala?

8. Lenka si spočítala, že knížku přečte za určitý počet dní, bude-li číst každý den 14 stran. Bude-li číst každý den 16 stran, přečte ji o den dříve. Kolik stran má kniha?

Nechť počet dní = x

  • 14 · x = celkový počet stran

  • 16 · (x − 1) = celkový počet stran

Rovnice: 14x = 16(x − 1)
14x = 16x − 16
16 − 2x = 0 → 2x = 16 → x = 8

Celkový počet stran = 14 · 8 = 112

Výsledek: kniha má 112 stran

9. Třída je dlouhá 9 m. Šířka třídy je menší a dá se přejít stejně dlouhými kroky délky 55 cm nebo 70 cm. Určete šířku třídy.

Délka třídy: 9 m → šířka w, tak aby kroky 0,55 m nebo 0,70 m vycházely celé → hledáme NSD(55, 70)

Rozklad:

  • 55 = 5 · 11

  • 70 = 2 · 5 · 7

NSD = 5 → šířka = 5 · 0,1 m = 0,5 m?
Přepočítáme na cm: 55 cm a 70 cm → NSD = 5 cm?
Hledáme šířku třídy v metrech: menší než 9 m, tak aby 55 cm a 70 cm = celé kroky

Největší číslo menší než délka třídy, dělitelné 55 a 70 → NSD(55, 70) = 5 cm, počet kroků = šířka / 0,05 → zbytek:

  • Hledáme šířku w = 5 · k → w < 9 m = 900 cm

  • Největší k, aby w dělitelná 55 i 70 → hledáme NSD(55, 70) = 5

  • počet kroků: 55cm: 55·k/55 = k, 70cm: 70·k/70 = k

  • max w = 5117 = 385 cm → 3,85 m

Výsledek: šířka třídy = 3,85 m

10. Rozdělte 200 perníčků, 240 bonbonů a 360 ořechů do více než 20 balíčků tak, aby byly všechny balíčky stejné. Kolik balíčků můžete připravit a co bude v každém balíčku?

200 perníčků, 240 bonbonů, 360 ořechů → více než 20 balíčků, všechny stejné → hledáme NSD(200, 240, 360)

Rozklad:

  • 200 = 2³ · 5²

  • 240 = 2⁴ · 3 · 5

  • 360 = 2³ · 3² · 5

NSD = 2³ · 5 = 40

Počet balíčků: 40

Obsah jednoho balíčku:

  • perníčky: 200 ÷ 40 = 5

  • bonbony: 240 ÷ 40 = 6

  • ořechy: 360 ÷ 40 = 90

  • Výsledek: 40 balíčků, 5 perníčků, 6 bonbonů, 9 ořechů

11. Dělníci dostali za úkol rozřezat plech s rozměry 220 cm a 308 cm na stejné čtverce tak, aby čtverce byly co největší. Kolik čtverců nařežou a jakou budou mít čtverce stranu?

12. Žáci měli vyrovnat obrázky tvaru obdélníku s rozměry 210 mm a 84 mm tak, aby pokryli čtverec. Jaký nejmenší čtverec lze takto pokrýt a kolik obrázků je k tomu třeba?

13. Na výletě rozdělovali dětem 252 jablek, 396 ořechů a 108 čokotyčinek. Rozdělovali je spravedlivě tak, aby všechny děti dostaly stejný počet jablek, ořechů i čokotyčinek. Kolik dětí bylo na výletě (bylo jich více než 30) a co každé z nich dostalo?

14. Při veřejném vystoupení se cvičenci postupně zařazují do trojstupu, čtyřstupu, pětistupu a osmistupu. Jeden cvičenec však stále přebývá. Kolik cvičenců se účastní vystoupení?

15. Ve dvou jídelnách je stejné uspořádání židlí kolem stolů. V první jídelně může obědvat nejvýše 78 osob, ve druhé 54 osob. Jaký je maximální počet židlí kolem jednoho stolu?

16. Učeň v obchodě s hračkami měl rozdělit 255 červených, 270 zelených a 450 modrých kuliček do sáčků tak, aby všechny sáčky měly stejný obsah. Kolik sáčků mohl připravit a kolik kuliček daných barev bylo v každém sáčku?

17. Švadlena odhadla zbytek látky v balíku na 12 m.Pak zjistila, že látku může nastříhat na stejně dlouhé kusy po 180 cm nebo 210 cm. Kolik metrů látky bylo v balíku?